입체 측정에 관한 학교 과정에서는 다양한 공간 도형의 속성을 연구합니다. 그 중 하나가 피라미드입니다. 이 기사는 피라미드의 측면 표면적을 찾는 방법에 대한 질문입니다. 잘린 피라미드에 대해 이 영역을 결정하는 문제도 논의됩니다.

피라미드란 무엇입니까?

많은 사람들은 '피라미드'라는 단어를 들으면 즉시 웅장한 건축물을 상상합니다. 고대 이집트. 실제로 Cheops와 Khafre의 무덤은 규칙적인 사각형 피라미드입니다. 그러나 피라미드는 오각형, 육각형 또는 n각형 밑면을 가진 사면체이기도 합니다.

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기하학에서는 피라미드의 개념이 명확하게 정의됩니다. 이 도형은 n이 정수인 평면 n각형의 모서리와 특정 점을 연결하여 형성된 공간상의 물체로 이해됩니다. 아래 그림은 4개의 피라미드를 보여줍니다. 다른 금액베이스의 모서리.

밑면 모서리의 모든 꼭지점이 연결된 점은 평면에 있지 않습니다. 피라미드의 꼭대기라고 합니다. 그것으로부터 밑면까지 수직선을 그리면 높이를 얻습니다. 높이가 기하학적 중심에서 밑면과 교차하는 도형을 직선이라고 합니다. 때때로 직선 피라미드는 정사각형, 정삼각형 등과 같은 규칙적인 밑면을 갖습니다. 이 경우에는 정답이라고 합니다.

피라미드의 측면적을 계산할 때 정확한 수치로 작업하는 것이 편리합니다.

측면 그림의 표면적

피라미드의 측면 표면적을 찾는 방법은 무엇입니까? 적절한 정의를 도입하고 이 그림에 대한 평면적 전개를 고려하면 이를 이해할 수 있습니다.

모든 피라미드는 모서리로 서로 분리된 면으로 구성됩니다. 밑면은 n각형에 의해 형성된 면입니다. 다른 모든 면은 삼각형입니다. n개가 있고 함께 그림의 측면을 형성합니다.

측면 가장자리를 따라 표면을 자르고 평면에서 펼치면 피라미드가 전개됩니다. 예를 들어, 아래에는 육각형 피라미드의 개발이 나와 있습니다.

6개의 동일한 삼각형으로 측면이 형성되어 있음을 알 수 있다.

이제 피라미드의 측면 표면적을 찾는 방법을 추측하는 것은 어렵지 않습니다. 이렇게 하려면 모든 삼각형의 면적을 더하세요. 밑변이 a와 같은 n각형 정뿔형의 경우, 고려 중인 표면에 대해 다음 공식을 쓸 수 있습니다.

여기서 hb는 피라미드의 변심입니다. 즉, 그림의 상단에서 밑면의 측면으로 낮아진 삼각형의 높이입니다. 변심점을 알 수 없는 경우 n각형의 매개변수와 그림의 높이 h 값을 알면 이를 계산할 수 있습니다.

잘린 피라미드와 그 표면

이름에서 알 수 있듯이 잘린 피라미드는 일반 그림에서 얻을 수 있습니다. 이렇게하려면 바닥과 평행 한 평면으로 상단을 잘라야합니다. 아래 그림은 육각형 모양에 대한 이 프로세스를 보여줍니다.

측면은 동일한 이등변 사다리꼴 면적의 합입니다. 잘린 피라미드 (정규)의 측면 표면적에 대한 공식은 다음과 같습니다.

Sb = hb*n*(a1 + a2)/2

여기서 hb는 사다리꼴의 높이인 그림의 변심점입니다. a1과 a2의 양은 변의 밑변의 길이입니다.

삼각뿔의 측면 계산

피라미드의 옆면적을 구하는 방법을 알려드리겠습니다. 정삼각형 문제가 있다고 가정하고 특정 문제의 예를 살펴보겠습니다. 정삼각형인 밑변의 길이는 10cm, 높이는 15cm인 것으로 알려져 있다.

이 피라미드의 발전 과정이 그림에 나와 있습니다. Sb의 공식을 사용하려면 먼저 변심점 hb를 찾아야 합니다. 변 hb와 h에 지어진 피라미드 내부의 직각삼각형을 고려하면 등식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

hb = √(h2+a2/12)

우리는 데이터를 대체하여 hb≒15.275cm를 찾았습니다.

이제 Sb에 대한 공식을 사용할 수 있습니다.

Sb = n*a*hb/2 = 3*10*15.275/2 = 229.125cm2

삼각뿔의 밑면은 옆면과 마찬가지로 삼각형으로 구성되어 있습니다. 그러나 면적 Sb를 계산할 때 이 삼각형은 고려되지 않습니다.

피라미드- 밑면과 면이 되는 다각형과 삼각형으로 형성된 다면체의 변종 중 하나입니다.

게다가 피라미드의 꼭대기(즉, 한 지점)에서는 모든 면이 하나로 합쳐져 있습니다.

피라미드의 면적을 계산하려면 측면이 여러 개의 삼각형으로 구성되어 있는지 확인하는 것이 좋습니다. 그리고 우리는 다음을 사용하여 쉽게 해당 지역을 찾을 수 있습니다.

다양한 공식. 삼각형에 대해 우리가 알고 있는 데이터에 따라 우리는 삼각형의 면적을 찾습니다.

삼각형의 면적을 찾는 데 사용할 수 있는 몇 가지 공식을 나열합니다.

1. S = (a*h)/2 . 이 경우 우리는 삼각형의 높이를 알고 있습니다. 시간 , 옆으로 내려간 것 ㅏ .
2. S = a*b*sinβ . 다음은 삼각형의 변입니다. ㅏ , 비 이고, 그 사이의 각도는 다음과 같습니다. β .
3. S = (r*(a + b + c))/2 . 다음은 삼각형의 변입니다. 에이, 비, 씨 . 삼각형에 내접하는 원의 반지름은 다음과 같습니다. 아르 자형 .
4. S = (a*b*c)/4*R . 삼각형 주위에 외접원의 반지름은 다음과 같습니다. 아르 자형 .
5. S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R . 이 공식은 삼각형이 직각일 때만 적용되어야 합니다.
6. S = (a²*√3)/4 . 이 공식을 정삼각형에 적용합니다.

피라미드의 면인 모든 삼각형의 면적을 계산한 후에야 피라미드 측면의 면적을 계산할 수 있습니다. 이를 위해 위의 공식을 사용하겠습니다.

피라미드의 측면 면적을 계산하려면 어려움이 발생하지 않습니다. 모든 삼각형 면적의 합을 찾아야합니다. 이를 수식으로 표현해 보겠습니다.

Sp = ΣSi

여기 시 는 첫 번째 삼각형의 면적이고, 에스 피 - 피라미드의 측면 표면의 면적.

예를 살펴보겠습니다. 정다각형 피라미드의 측면은 여러 개의 정삼각형으로 구성되어 있습니다.

« 기하학은 우리의 정신 능력을 연마하는 가장 강력한 도구입니다».

갈릴레오 갈릴레이.

정사각형은 피라미드의 기초입니다. 그리고 피라미드의 한 변의 길이는 17cm인데, 이 피라미드의 옆면의 넓이를 구해 봅시다.

우리는 이렇게 추론합니다. 피라미드의 면은 삼각형이고 정변형이라는 것을 알고 있습니다. 우리는 또한 이 피라미드의 모서리 길이가 무엇인지도 알고 있습니다. 모든 삼각형의 변은 동일하고 길이는 17cm입니다.

각 삼각형의 면적을 계산하려면 다음 공식을 사용할 수 있습니다.

S = (17²*√3)/4 = (289*1.732)/4 = 125.137cm²

따라서 우리는 정사각형이 피라미드의 밑면에 있다는 것을 알고 있으므로 4개의 정삼각형이 있다는 것이 밝혀졌습니다. 이는 피라미드의 측면 표면적을 다음 공식을 사용하여 쉽게 계산할 수 있음을 의미합니다. 125.137cm² * 4 = 500.548cm²

우리의 대답은 다음과 같습니다: 500.548 cm² - 이것은 이 피라미드의 측면 표면의 면적입니다.

임의의 피라미드의 측면 면적은 측면 면적의 합과 같습니다. 일반 피라미드의 경우 이 영역을 표현하기 위한 특별한 공식을 제공하는 것이 합리적입니다. 그럼, 밑면에 변이 a인 정n각형이 있는 정뿔뿔이 있다고 가정해 보겠습니다. h를 옆면의 높이라고 하자. 변심피라미드. 한 측면의 면적은 1/2ah이고 피라미드의 측면 전체의 면적은 n/2ha입니다. na는 피라미드 밑면의 둘레이므로 찾은 공식을 쓸 수 있습니다. 의 형태의:

측면 표면적일반 피라미드의 크기는 변심과 밑면 둘레의 절반의 곱과 같습니다.

에 관하여 총 표면적, 그런 다음 기본 영역을 측면 영역에 추가하기만 하면 됩니다.

내접 및 외접 구와 구. 피라미드에 새겨진 구의 중심은 피라미드의 내부 2면각의 이등분면의 교차점에 있다는 점에 유의해야 합니다. 피라미드 근처에 설명된 구의 중심은 피라미드 모서리의 중간점을 통과하고 이에 수직인 평면의 교차점에 있습니다.

잘린 피라미드.피라미드를 밑면과 평행한 평면으로 자르면 절단면과 밑면 사이에 둘러싸인 부분을 피라미드라고 합니다. 잘린 피라미드.그림은 피라미드를 보여주며, 절단 평면 위에 있는 부분을 버리면 잘린 피라미드가 생성됩니다. 버려진 작은 피라미드는 정점에 동질성의 중심이 있는 큰 피라미드와 동질적이라는 것이 분명합니다. 유사성 계수는 ​​높이의 비율과 같습니다: k=h 2 /h 1, 측면 가장자리 또는 두 피라미드의 기타 해당 선형 치수. 우리는 유사한 도형의 면적이 선형 차원의 제곱과 유사하다는 것을 알고 있습니다. 따라서 두 피라미드의 밑면 면적(즉, 잘린 피라미드의 밑면 면적)은 다음과 같이 관련됩니다.

여기서 S1은 밑변의 면적이고, S2는 잘린 피라미드의 윗밑면의 면적이다. 피라미드의 측면은 동일한 관계에 있습니다. 볼륨에도 비슷한 규칙이 있습니다.

유사한 신체의 부피선형 차원의 큐브처럼 관련되어 있습니다. 예를 들어, 피라미드의 부피는 높이와 밑면의 면적의 곱으로 관련되며, 이로부터 우리의 규칙이 즉시 얻어집니다. 이는 완전히 일반적인 성격을 가지며 부피는 항상 길이의 3승 크기를 갖는다는 사실에서 직접적으로 파생됩니다. 이 규칙을 사용하여 밑면의 높이와 면적을 통해 잘린 피라미드의 부피를 표현하는 공식을 유도합니다.

높이가 h이고 밑면적이 S1과 S2인 잘린 피라미드가 있다고 가정합니다. 전체 피라미드로 확장된다고 상상하면 전체 피라미드와 작은 피라미드 사이의 유사 계수는 S 2 /S 1 비율의 근으로 쉽게 찾을 수 있습니다. 잘린 피라미드의 높이는 h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k)로 표현됩니다. 이제 우리는 잘린 피라미드의 부피를 얻었습니다(V 1 및 V 2는 전체 피라미드와 작은 피라미드의 부피를 나타냄).

잘린 피라미드의 부피 공식

밑면의 둘레 P 1 및 P 2와 변심점 a의 길이를 통해 정절단 피라미드의 옆면 면적 S에 대한 공식을 도출해 보겠습니다. 우리는 부피 공식을 도출할 때와 똑같은 방식으로 추론합니다. 우리는 피라미드를 윗부분으로 보완합니다. P 2 = kP 1, S 2 = k 2 S 1입니다. 여기서 k는 유사 계수이고, P 1과 P 2는 밑면의 둘레이고, S 1과 S 2입니다. 전체 결과 피라미드의 측면 표면 영역과 이에 따른 상단 부분입니다. 측면 표면에 대해 (a 1과 a 2는 피라미드의 변종, a = a 1 - a 2 = a 1 (1-k))

정절두뿔의 측면 표면적에 대한 공식

변의 수, 변의 길이 및 변심값을 입력하십시오.

피라미드의 정의

피라미드는 밑면이 다각형이고 면이 삼각형인 다면체입니다.

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피라미드의 일부 구성 요소에 대한 정의에 대해 생각해 볼 가치가 있습니다.

그녀는 다른 다면체와 마찬가지로 갈비 살. 그들은 다음과 같은 한 지점으로 수렴합니다. 맨 위피라미드. 임의의 다각형을 기반으로 할 수 있습니다. 가장자리밑변 중 하나와 가장 가까운 두 모서리로 구성된 기하학적 도형입니다. 우리의 경우에는 삼각형입니다. 키피라미드는 밑면이 있는 평면에서 다면체의 꼭대기까지의 거리입니다. 일반 피라미드의 경우에도 개념이 있습니다. 변론- 이것은 피라미드 꼭대기에서 밑면까지 수직으로 내려가는 수직선입니다.

피라미드의 종류

피라미드에는 3가지 유형이 있습니다.

1. 직사각형- 모서리가 밑면과 직각을 이루는 것.
2. 옳은- 밑면은 일반적인 기하학적 도형이고 다각형 자체의 꼭지점은 밑면 중심의 투영입니다.
3. 사면체- 삼각형으로 이루어진 피라미드. 또한 각각을 기초로 삼을 수 있습니다.

피라미드의 표면적에 대한 공식

피라미드의 전체 표면적을 구하려면 옆면의 면적과 밑면의 면적을 더해야 합니다.

가장 간단한 경우는 일반 피라미드의 경우이므로 이에 대해 다루겠습니다. 그러한 피라미드의 전체 표면적을 계산해 보겠습니다. 측면 표면적은 다음과 같습니다.

S 변 = 1 2 ⋅ l ⋅ p S_(\text(side))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot p에스 옆​ = 2 1 ​ ⋅ 엘 ⋅피

엘 엘 엘- 피라미드의 변종;
피 피 피- 피라미드 바닥의 둘레.

피라미드의 총 표면적:

S = S 쪽 + S 메인 S=S_(\text(사이드))+S_(\text(메인))에스=에스 옆​ + 에스 기초적인​

S측 S_(\text(side)) 에스 옆​ - 피라미드 측면의 면적;
S 메인 S_(\text(기본)) 에스 기초적인​ - 피라미드 바닥의 영역.

문제 해결의 예.

예

변심이 8(cm)이고 밑면에 변이 3(cm)인 정삼각형이 있는 경우 삼각뿔의 전체 면적을 구합니다.

해결책

엘 = 8 엘=8 내가 =8
a = 3 a=3 a =3

밑면의 둘레를 구해 봅시다. 밑면은 변이 있는 정삼각형이므로 에 ㅏ, 그 둘레 피 피 피(모든 변의 합):

P = a + a + a = 3 ⋅ a = 3 ⋅ 3 = 9 p=a+a+a=3\cdot a=3\cdot 3=9피 =에이+에이+a =3 ⋅ a =3 ⋅ 3 = 9

그러면 피라미드의 측면 면적은 다음과 같습니다.

S 변 = 1 2 ⋅ l ⋅ p = 1 2 ⋅ 8 ⋅ 9 = 36 S_(\text(side))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot p=\frac(1)(2) \cdot 8\cdot 9=36에스 옆​ = 2 1 ​ ⋅ 엘 ⋅피 =2 1 ​ ⋅ 8 ⋅ 9 = 3 6 (평방 참조)

이제 피라미드의 밑면의 넓이, 즉 삼각형의 넓이를 구해 봅시다. 우리의 경우 삼각형은 정삼각형이며 그 면적은 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

S 메인 = 3 ⋅ a 2 4 S_(\text(basic))=\frac(\sqrt(3)\cdot a^2)(4)에스 기초적인​ = 4 3 ​ ⋅ ㅏ 2 ​

에 ㅏ- 삼각형의 측면.

우리는 다음을 얻습니다:

S 메인 = 3 ⋅ a 2 4 = 3 ⋅ 3 2 4 ≒ 3.9 S_(\text(basic))=\frac(\sqrt(3)\cdot a^2)(4)=\frac(\sqrt(3 )\cdot 3^2)(4)\대략 3.9에스 기초적인​ = 4 3 ​ ⋅ ㅏ 2 ​ = 4 3 ​ ⋅ 3 2 ​ ≈ 3 . 9 (평방 참조)

전체 면적:

S = S 측 + S 주 ≒ 36 + 3.9 = 39.9 S=S_(\text(side))+S_(\text(main))\about36+3.9=39.9에스=에스 옆​ + 에스 기초적인​ ≈ 3 6 + 3 . 9 = 3 9 . 9 (평방 참조)

답변: 39.9cm제곱

또 다른 예는 좀 더 복잡합니다.

예

피라미드의 밑면은 36(cm2) 면적의 정사각형입니다. 다면체의 변심은 밑면의 한 변의 3배입니다 에 ㅏ. 이 그림의 전체 표면적을 구하십시오.

해결책

S 쿼드 = 36 S_(\text(quad))=36에스 쿼드​ = 3 6
l = 3 ⋅ a l=3\cdot a 내가 =3 ⋅ ㅏ

밑변, 즉 정사각형의 변을 구해 봅시다. 면적과 측면 길이는 다음과 관련이 있습니다.

S 쿼드 = a 2 S_(\text(쿼드))=a^2에스 쿼드​ = ㅏ 2
36 = 2 36=a^2 3 6 = ㅏ 2
에 = 6 에 = 6 a =6

피라미드 밑면의 둘레(즉, 정사각형의 둘레)를 구해 봅시다:

P = a + a + a + a = 4 ⋅ a = 4 ⋅ 6 = 24 p=a+a+a+a=4\cdot a=4\cdot 6=24피 =에이+에이+에이+a =4 ⋅ a =4 ⋅ 6 = 2 4

변심의 길이를 구해 봅시다:

L = 3 ⋅ a = 3 ⋅ 6 = 18 l=3\cdot a=3\cdot 6=18내가 =3 ⋅ a =3 ⋅ 6 = 1 8

우리의 경우:

S 쿼드 = S 메인 S_(\text(quad))=S_(\text(basic))에스 쿼드​ = 에스 기초적인​

남은 것은 측면의 면적을 찾는 것입니다. 공식에 따르면:

S 변 = 1 2 ⋅ l ⋅ p = 1 2 ⋅ 18 ⋅ 24 = 216 S_(\text(side))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot p=\frac(1)(2) \cdot 18\cdot 24=216에스 옆​ = 2 1 ​ ⋅ 엘 ⋅피 =2 1 ​ ⋅ 1 8 ⋅ 2 4 = 2 1 6 (평방 참조)

전체 면적:

$에스={에스}^{\text{옆 + 에스기초적인 = 2 1 6 + 3 6 = 2 5 2 (평방 참조)}}$

답변: 252cm²

어떤 인물을 피라미드라고 부르나요? 첫째, 다면체입니다. 둘째, 이 다면체의 바닥에는 임의의 다각형이 있고 피라미드의 측면 (측면)은 반드시 하나의 공통 꼭지점에 수렴하는 삼각형 모양을 갖습니다. 이제 용어를 이해했으니 피라미드의 표면적을 구하는 방법을 알아봅시다.

이러한 기하학적 몸체의 표면적은 밑면과 전체 측면 표면의 합으로 구성된다는 것이 분명합니다.

피라미드 밑면의 면적 계산

계산 공식의 선택은 피라미드 밑에 있는 다각형의 모양에 따라 다릅니다. 즉, 변의 길이가 같은 규칙적이거나 불규칙할 수 있습니다. 두 가지 옵션을 모두 고려해 보겠습니다.

밑면은 정다각형이다

학교 과정에서 우리는 다음을 알고 있습니다.

• 정사각형의 면적은 변의 길이를 제곱한 것과 같습니다.
• 정삼각형의 면적은 변의 제곱을 4로 나누고 루트 3을 곱한 것과 같습니다.

그러나 정다각형(Sn)의 면적을 계산하는 일반적인 공식도 있습니다. 이 다각형의 둘레(P)에 그 안에 새겨진 원의 반경(r)을 곱한 다음 2개의 결과: Sn=1/2P*r .

밑면에는 불규칙한 다각형이 있습니다.

면적을 찾는 방법은 먼저 전체 다각형을 삼각형으로 나누고 다음 공식을 사용하여 각 면적을 계산하는 것입니다. 1/2a*h (여기서 a는 삼각형의 밑면이고 h는 높이입니다. 이 베이스), 모든 결과를 더하세요.

피라미드의 측면 표면적

이제 피라미드의 측면 표면적을 계산해 보겠습니다. 모든 측면의 면적의 합입니다. 여기에는 2가지 옵션도 있습니다.

1. 임의의 피라미드를 만들어 보겠습니다. 하나는 밑면에 불규칙한 다각형이 있습니다. 그런 다음 각 면의 면적을 별도로 계산하고 결과를 추가해야 합니다. 피라미드의 변은 정의에 따라 삼각형만 될 수 있으므로 위에서 언급한 공식 S=1/2a*h를 사용하여 계산이 수행됩니다.
2. 우리의 피라미드가 정확하자, 즉 밑면에는 정다각형이 있고 피라미드 꼭대기의 투영은 중심에 있습니다. 그런 다음 측면의 면적(Sb)을 계산하려면 밑면 다각형의 둘레(P)와 측면의 높이(h)의 곱의 절반을 구하면 충분합니다(모든 면에 대해 동일함). ): Sb = 1/2P*h. 다각형의 둘레는 모든 변의 길이를 더하여 결정됩니다.

일반 피라미드의 전체 표면적은 밑면의 면적과 전체 측면 표면의 면적을 합산하여 구합니다.

예

예를 들어 여러 피라미드의 표면적을 대수적으로 계산해 보겠습니다.

삼각뿔의 표면적

그러한 피라미드의 바닥에는 삼각형이 있습니다. So=1/2a*h 공식을 사용하여 밑면의 면적을 구합니다. 동일한 공식을 사용하여 삼각형 모양인 피라미드의 각 면의 면적을 구하고 S1, S2 및 S3의 3가지 면적을 얻습니다. 피라미드 측면의 면적은 모든 면적의 합입니다. Sb = S1+ S2+ S3. 측면과 밑면의 면적을 합산하여 원하는 피라미드의 전체 표면적을 얻습니다. Sp= So+ Sb.

사각뿔의 표면적

측면의 면적은 4개 항의 합입니다: Sb = S1+ S2+ S3+ S4. 각 항은 삼각형 면적 공식을 사용하여 계산됩니다. 그리고 밑면의 면적은 사변형의 모양 (정규 또는 불규칙)에 따라 찾아야합니다. 피라미드의 전체 표면적은 밑면의 면적과 주어진 피라미드의 전체 표면적을 더하여 다시 구해집니다.