Dans le cours scolaire de stéréométrie, les propriétés de diverses figures spatiales sont étudiées. L'un d'eux est la pyramide. Cet article est consacré à la question de savoir comment trouver la surface latérale d'une pyramide. La question de la détermination de cette aire pour une pyramide tronquée est également abordée.

Qu'est-ce qu'une pyramide ?

Beaucoup de gens, lorsqu'ils entendent le mot « pyramide », imaginent immédiatement des structures grandioses. L'Egypte ancienne. En effet, les tombeaux de Khéops et de Khafré sont des pyramides quadrangulaires régulières. Cependant, une pyramide est aussi un tétraèdre, une figure à base pentagonale, hexagonale ou n-gonale.

Vous pourriez être intéressé par :

En géométrie, la notion de pyramide est clairement définie. Cette figure est comprise comme un objet dans l'espace formé en reliant un certain point aux coins d'un n-gon plat, où n est un nombre entier. L'image ci-dessous montre quatre pyramides avec différents montants coins à la base.

Le point auquel sont reliés tous les sommets des coins de la base ne se situe pas dans son plan. C'est ce qu'on appelle le sommet de la pyramide. Si nous traçons une perpendiculaire à la base, nous obtenons la hauteur. Une figure dans laquelle la hauteur coupe la base au centre géométrique est appelée une ligne droite. Parfois, une pyramide droite a une base régulière, comme un carré, un triangle équilatéral, etc. Dans ce cas, cela est dit correct.

Lors du calcul de la surface latérale d'une pyramide, il est pratique de travailler avec les chiffres corrects.

Superficie d'une figure latérale

Comment trouver l'aire latérale d'une pyramide ? Vous pouvez comprendre cela si vous introduisez la définition appropriée et considérez le développement sur un plan de cette figure.

Toute pyramide est formée de faces séparées les unes des autres par des arêtes. La base est la face formée par le n-gon. Toutes les autres faces sont des triangles. Ils sont au nombre de n et forment ensemble la surface latérale de la figure.

Si vous coupez la surface le long du bord latéral et la dépliez sur un plan, vous obtiendrez le développement d'une pyramide. Par exemple, ci-dessous est montré le développement d’une pyramide hexagonale.

On voit que la surface latérale est formée de six triangles identiques.

Maintenant, il n'est pas difficile de deviner comment trouver la surface latérale d'une pyramide. Pour ce faire, additionnez les aires de tous les triangles. Dans le cas d'une pyramide régulière n-gonale dont le côté de la base est égal à a, pour la surface considérée on peut écrire la formule :

Ici, HB est l'apothème de la pyramide. C'est-à-dire la hauteur du triangle, abaissée du haut de la figure jusqu'au côté de la base. Si l'apothème est inconnu, alors il peut être calculé en connaissant les paramètres du n-gon et la valeur de la hauteur h de la figure.

Pyramide tronquée et sa surface

Comme son nom l'indique, une pyramide tronquée peut être obtenue à partir d'une figure ordinaire. Pour ce faire, vous devez couper le dessus avec un plan parallèle à la base. La figure ci-dessous montre ce processus pour une forme hexagonale.

Sa surface latérale est la somme des aires de trapèzes isocèles identiques. La formule de la surface latérale d'une pyramide tronquée (régulière) est :

Sb = hb*n*(a1 + a2)/2

Ici hb est l'apothème de la figure, qui est la hauteur du trapèze. Les quantités a1 et a2 sont les longueurs des bases des côtés.

Calcul de la surface latérale d'une pyramide triangulaire

Nous allons vous montrer comment trouver l'aire latérale d'une pyramide. Disons que nous en avons un triangulaire régulier, regardons l'exemple d'un problème spécifique. On sait que le côté de la base, qui est un triangle équilatéral, mesure 10 cm et la hauteur de la figure est de 15 cm.

Le développement de cette pyramide est illustré sur la figure. Pour utiliser la formule de Sb, vous devez d’abord trouver l’apothème hb. Considérant un triangle rectangle à l’intérieur d’une pyramide, construit sur les côtés hb et h, l’égalité peut s’écrire comme suit :

hb = √(h2+a2/12)

Nous substituons les données et trouvons que hb≈15,275 cm.

Vous pouvez maintenant utiliser la formule pour Sb :

Sb = n*a*hb/2 = 3*10*15,275/2 = 229,125 cm2

Notez que la base d’une pyramide triangulaire, comme sa face latérale, est formée par un triangle. Cependant, ce triangle n'est pas pris en compte dans le calcul de l'aire Sb.

Pyramide- une des variétés d'un polyèdre formé de polygones et de triangles qui se trouvent à la base et sont ses faces.

De plus, au sommet de la pyramide (c’est-à-dire en un point) toutes les faces sont réunies.

Afin de calculer l'aire d'une pyramide, il convient de déterminer que sa surface latérale est constituée de plusieurs triangles. Et nous pouvons facilement trouver leurs zones en utilisant

diverses formules. En fonction des données dont nous disposons sur les triangles, nous recherchons leur aire.

Nous listons quelques formules qui peuvent être utilisées pour trouver l'aire des triangles :

1. S = (a*h)/2 . Dans ce cas, on connaît la hauteur du triangle h , qui est abaissé sur le côté un .
2. S = a*b*sinβ . Voici les côtés du triangle un , b , et l'angle entre eux est β .
3. S = (r*(a + b + c))/2 . Voici les côtés du triangle une, b, c . Le rayon d'un cercle inscrit dans un triangle est r .
4. S = (a*b*c)/4*R . Le rayon d'un cercle circonscrit autour d'un triangle est R. .
5. S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R . Cette formule ne doit être appliquée que lorsque le triangle est rectangle.
6. S = (a²*√3)/4 . Nous appliquons cette formule à un triangle équilatéral.

Ce n'est qu'après avoir calculé les aires de tous les triangles qui sont les faces de notre pyramide que nous pouvons calculer l'aire de sa surface latérale. Pour ce faire, nous utiliserons les formules ci-dessus.

Afin de calculer l'aire de la surface latérale d'une pyramide, aucune difficulté ne se pose : vous devez connaître la somme des aires de tous les triangles. Exprimons cela avec la formule :

Sp = ΣSi

Ici Si est l'aire du premier triangle, et S P. - aire de la surface latérale de la pyramide.

Regardons un exemple. Étant donné une pyramide régulière, ses faces latérales sont formées de plusieurs triangles équilatéraux,

« La géométrie est l'outil le plus puissant pour aiguiser nos capacités mentales».

Galilée.

et le carré est la base de la pyramide. De plus, le bord de la pyramide a une longueur de 17 cm. Trouvons l'aire de la surface latérale de cette pyramide.

On raisonne ainsi : on sait que les faces de la pyramide sont des triangles, elles sont équilatérales. Nous savons également quelle est la longueur des arêtes de cette pyramide. Il s'ensuit que tous les triangles ont des côtés égaux et que leur longueur est de 17 cm.

Pour calculer l'aire de chacun de ces triangles, vous pouvez utiliser la formule suivante :

S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²

Ainsi, puisque nous savons que le carré se trouve à la base de la pyramide, il s’avère que nous avons quatre triangles équilatéraux. Cela signifie que la surface latérale de la pyramide peut être facilement calculée à l'aide de la formule suivante : 125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²

Notre réponse est la suivante : 500,548 cm² - c'est l'aire de la surface latérale de cette pyramide.

L'aire de la surface latérale d'une pyramide arbitraire est égale à la somme des aires de ses faces latérales. Il est logique de donner une formule spéciale pour exprimer cette aire dans le cas d'une pyramide régulière. Soit donc une pyramide régulière, à la base de laquelle se trouve un n-gone régulier de côté égal à a. Soit h la hauteur de la face latérale, également appelée apothème pyramides. L'aire d'une face latérale est égale à 1/2ah, et toute la surface latérale de la pyramide a une aire égale à n/2ha. Puisque na est le périmètre de la base de la pyramide, on peut écrire la formule trouvée sous la forme:

Surface latérale d’une pyramide régulière est égal au produit de son apothème par la moitié du périmètre de la base.

Concernant superficie totale, puis on ajoute simplement l'aire de la base à celle du côté.

Sphère et boule inscrites et circonscrites. Il est à noter que le centre de la sphère inscrite dans la pyramide se situe à l'intersection des plans bissecteurs des angles dièdres internes de la pyramide. Le centre de la sphère décrite près de la pyramide se situe à l'intersection de plans passant par les milieux des arêtes de la pyramide et perpendiculaires à ceux-ci.

Pyramide tronquée. Si une pyramide est coupée par un plan parallèle à sa base, alors la partie comprise entre le plan de coupe et la base est appelée pyramide tronquée. La figure montre une pyramide ; en écartant sa partie située au-dessus du plan de coupe, on obtient une pyramide tronquée. Il est clair que la petite pyramide écartée est homothétique à la grande pyramide dont le centre d’homothétie est au sommet. Le coefficient de similarité est égal au rapport des hauteurs : k=h 2 /h 1, ou des bords latéraux, ou d'autres dimensions linéaires correspondantes des deux pyramides. Nous savons que les aires de figures semblables sont liées comme des carrés de dimensions linéaires ; donc les aires des bases des deux pyramides (c'est-à-dire l'aire des bases de la pyramide tronquée) sont liées comme

Ici S 1 est l'aire de la base inférieure, et S 2 est l'aire de la base supérieure de la pyramide tronquée. Les surfaces latérales des pyramides sont dans le même rapport. Une règle similaire existe pour les volumes.

Volumes de corps similaires sont liés comme des cubes par leurs dimensions linéaires ; par exemple, les volumes des pyramides sont liés comme le produit de leurs hauteurs et de l'aire des bases, à partir de laquelle notre règle est immédiatement obtenue. Elle est d'un caractère tout à fait général et découle directement du fait que le volume a toujours une dimension à la puissance trois de la longueur. En utilisant cette règle, nous dérivons une formule exprimant le volume d'une pyramide tronquée par la hauteur et l'aire des bases.

Soit une pyramide tronquée de hauteur h et d'aires de base S 1 et S 2. Si nous imaginons qu'il soit étendu à une pyramide complète, alors le coefficient de similarité entre la pyramide complète et la petite pyramide peut facilement être trouvé comme racine du rapport S 2 /S 1 . La hauteur d'une pyramide tronquée est exprimée par h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). Nous avons maintenant pour le volume d'une pyramide tronquée (V 1 et V 2 désignent les volumes des pyramides pleines et petites)

formule pour le volume d'une pyramide tronquée

Dérivons la formule de l'aire S de la surface latérale d'une pyramide tronquée régulière passant par les périmètres P 1 et P 2 des bases et la longueur de l'apothème a. Nous raisonnons exactement de la même manière que pour dériver la formule du volume. On complète la pyramide avec la partie supérieure, on a P 2 = kP 1, S 2 = k 2 S 1, où k est le coefficient de similarité, P 1 et P 2 sont les périmètres des bases, et S 1 et S 2 sont les aires des surfaces latérales de toute la pyramide résultante et de sa partie supérieure en conséquence. Pour la surface latérale on trouve (a 1 et a 2 sont des apothèmes des pyramides, a = a 1 - a 2 = a 1 (1-k))

formule pour la surface latérale d'une pyramide tronquée régulière

Entrez le nombre de côtés, la longueur du côté et l'apothème :

Définition d'une pyramide

Pyramide est un polyèdre dont la base est un polygone et ses faces sont des triangles.

Calculateur en ligne

Il convient de s'attarder sur la définition de certaines composantes de la pyramide.

Elle, comme les autres polyèdres, a côtes. Ils convergent vers un point appelé haut pyramides. Il peut être basé sur un polygone arbitraire. Bord est une figure géométrique formée par l'un des côtés de la base et deux bords les plus proches. Dans notre cas, c'est un triangle. Hauteur La pyramide est la distance entre le plan dans lequel se trouve sa base et le sommet du polyèdre. Pour une pyramide régulière, il existe aussi un concept apothèmes- c'est une perpendiculaire descendant du sommet de la pyramide jusqu'à sa base.

Types de pyramides

Il existe 3 types de pyramides :

1. Rectangulaire- celui dans lequel n'importe quel bord forme un angle droit avec la base.
2. Correct- sa base est une figure géométrique régulière, et le sommet du polygone lui-même est une projection du centre de la base.
3. Tétraèdre- une pyramide composée de triangles. De plus, chacun d'eux peut être pris comme base.

Formule pour la surface d'une pyramide

Pour trouver la surface totale de la pyramide, vous devez additionner l'aire de la surface latérale et l'aire de la base.

Le cas le plus simple est celui d’une pyramide régulière, nous allons donc le traiter. Calculons la surface totale d'une telle pyramide. La surface latérale est :

Côté S = 1 2 ⋅ l ⋅ p S_(\text(side))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot pS côté​ = 2 1 ​ ⋅ je ⋅p

Ll je- l'apothème de la pyramide ;
p p p- le périmètre de la base de la pyramide.

Superficie totale de la pyramide :

S = S côté + S principal S=S_(\text(side))+S_(\text(main))S=S côté​ + S basique​

Côté S S_(\text(côté)) S côté​ - aire de la surface latérale de la pyramide ;
S principal S_(\text(basic)) S basique​ - aire de la base de la pyramide.

Un exemple de résolution d'un problème.

Exemple

Trouver l'aire totale d'une pyramide triangulaire si son apothème est de 8 (cm), et à la base il y a un triangle équilatéral de côté 3 (cm)

Solution

L = 8 l=8 je =8
une = 3 une=3 une =3

Trouvons le périmètre de la base. Puisque la base est un triangle équilatéral de côté un un un, puis son périmètre p p p(somme de tous ses côtés) :

P = a + a + a = 3 ⋅ a = 3 ⋅ 3 = 9 p=a+a+a=3\cdot a=3\cdot 3=9p =un+un+une =3 ⋅ une =3 ⋅ 3 = 9

Alors l’aire latérale de la pyramide est :

Côté S = 1 2 ⋅ l ⋅ p = 1 2 ⋅ 8 ⋅ 9 = 36 S_(\text(side))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot p=\frac(1)(2) \cdot 8\cdot 9=36S côté​ = 2 1 ​ ⋅ je ⋅p =2 1 ​ ⋅ 8 ⋅ 9 = 3 6 (voir sq.)

Trouvons maintenant l'aire de la base de la pyramide, c'est-à-dire l'aire du triangle. Dans notre cas, le triangle est équilatéral et son aire peut être calculée à l'aide de la formule :

S principal = 3 ⋅ a 2 4 S_(\text(basic))=\frac(\sqrt(3)\cdot a^2)(4)S basique​ = 4 3 ​ ⋅ un 2 ​

Un un un- côté du triangle.

On a:

S principal = 3 ⋅ a 2 4 = 3 ⋅ 3 2 4 ≈ 3,9 S_(\text(basic))=\frac(\sqrt(3)\cdot a^2)(4)=\frac(\sqrt(3 )\cdot 3^2)(4)\environ3.9S basique​ = 4 3 ​ ⋅ un 2 ​ = 4 3 ​ ⋅ 3 2 ​ ≈ 3 . 9 (voir sq.)

Superficie totale:

S = S côté + S principal ≈ 36 + 3,9 = 39,9 S=S_(\text(side))+S_(\text(main))\approx36+3.9=39.9S=S côté​ + S basique​ ≈ 3 6 + 3 . 9 = 3 9 . 9 (voir sq.)

Répondre: 39,9 cm².

Autre exemple, un peu plus compliqué.

Exemple

La base de la pyramide est un carré d'une aire de 36 (cm2). L'apothème d'un polyèdre fait 3 fois le côté de la base un un un. Trouvez la surface totale de cette figure.

Solution

S quad = 36 S_(\text(quad))=36S quad​ = 3 6
l = 3 ⋅ une l=3\cdot a je =3 ⋅ un

Trouvons le côté de la base, c'est-à-dire le côté du carré. Son aire et sa longueur de côté sont liées :

S quad = a 2 S_(\text(quad))=a^2S quad​ = un 2
36 = un 2 36 = un ^ 2 3 6 = un 2
une = 6 une=6 une =6

Trouvons le périmètre de la base de la pyramide (c'est-à-dire le périmètre du carré) :

P = a + a + a + a = 4 ⋅ a = 4 ⋅ 6 = 24 p=a+a+a+a=4\cdot a=4\cdot 6=24p =un+un+un+une =4 ⋅ une =4 ⋅ 6 = 2 4

Trouvons la longueur de l'apothème :

L = 3 ⋅ a = 3 ⋅ 6 = 18 l=3\cdot a=3\cdot 6=18je =3 ⋅ une =3 ⋅ 6 = 1 8

Dans notre cas:

S quad = S principal S_(\text(quad))=S_(\text(basic))S quad​ = S basique​

Il ne reste plus qu'à trouver l'aire de la surface latérale. D'après la formule :

Côté S = 1 2 ⋅ l ⋅ p = 1 2 ⋅ 18 ⋅ 24 = 216 S_(\text(side))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot p=\frac(1)(2) \cdot 18\cdot 24=216S côté​ = 2 1 ​ ⋅ je ⋅p =2 1 ​ ⋅ 1 8 ⋅ 2 4 = 2 1 6 (voir sq.)

Superficie totale:

$S=S^{\text{côté + Sbasique = 2 1 6 + 3 6 = 2 5 2 (voir sq.)}}$

Répondre: 252 cm².

Quelle figure appelle-t-on une pyramide ? Premièrement, c'est un polyèdre. Deuxièmement, à la base de ce polyèdre se trouve un polygone arbitraire, et les côtés de la pyramide (faces latérales) ont nécessairement la forme de triangles convergeant vers un sommet commun. Maintenant, ayant compris le terme, découvrons comment trouver l’aire de la pyramide.

Il est clair que la surface d'un tel corps géométrique est constituée de la somme des aires de la base et de toute sa surface latérale.

Calculer l'aire de la base d'une pyramide

Le choix de la formule de calcul dépend de la forme du polygone sous-jacent à notre pyramide. Il peut être régulier, c'est-à-dire avec des côtés de même longueur, ou irrégulier. Considérons les deux options.

La base est un polygone régulier

Du cursus scolaire nous savons:

• l'aire du carré sera égale à la longueur de son côté au carré ;
• L'aire d'un triangle équilatéral est égale au carré de son côté divisé par 4 et multiplié par la racine carrée de trois.

Mais il existe aussi une formule générale pour calculer l'aire de tout polygone régulier (Sn) : il faut multiplier le périmètre de ce polygone (P) par le rayon du cercle qui y est inscrit (r), puis diviser le résultat par deux : Sn=1/2P*r .

A la base se trouve un polygone irrégulier

Le schéma pour trouver son aire consiste d'abord à diviser l'ensemble du polygone en triangles, à calculer l'aire de chacun d'eux à l'aide de la formule : 1/2a*h (où a est la base du triangle, h est la hauteur abaissée à cette base), additionner tous les résultats.

Surface latérale de la pyramide

Calculons maintenant l'aire de la surface latérale de la pyramide, c'est-à-dire la somme des aires de tous ses côtés latéraux. Il y a aussi 2 options ici.

1. Ayons une pyramide arbitraire, c'est-à-dire un avec un polygone irrégulier à sa base. Ensuite, vous devez calculer la surface de chaque visage séparément et additionner les résultats. Puisque les côtés d'une pyramide, par définition, ne peuvent être que des triangles, le calcul est effectué à l'aide de la formule mentionnée ci-dessus : S=1/2a*h.
2. Que notre pyramide soit correcte, c'est-à-dire à sa base se trouve un polygone régulier, et la projection du sommet de la pyramide est en son centre. Ensuite, pour calculer l'aire de la surface latérale (Sb), il suffit de trouver la moitié du produit du périmètre du polygone de base (P) et de la hauteur (h) du côté latéral (la même pour toutes les faces ) : Sb = 1/2 P*h. Le périmètre d'un polygone est déterminé en additionnant les longueurs de tous ses côtés.

La surface totale d'une pyramide régulière est obtenue en additionnant l'aire de sa base avec l'aire de toute la surface latérale.

Exemples

Par exemple, calculons algébriquement les surfaces de plusieurs pyramides.

Superficie d'une pyramide triangulaire

A la base d’une telle pyramide se trouve un triangle. En utilisant la formule So=1/2a*h on trouve l'aire de la base. On utilise la même formule pour trouver l'aire de chaque face de la pyramide, qui a également une forme triangulaire, et on obtient 3 aires : S1, S2 et S3. L'aire de la surface latérale de la pyramide est la somme de toutes les aires : Sb = S1+ S2+ S3. En additionnant les aires des côtés et de la base, on obtient la surface totale de la pyramide souhaitée : Sp= So+ Sb.

Superficie d'une pyramide quadrangulaire

L'aire de la surface latérale est la somme de 4 termes : Sb = S1+ S2+ S3+ S4, chacun étant calculé à l'aide de la formule de l'aire d'un triangle. Et l'aire de la base devra être recherchée en fonction de la forme du quadrilatère - régulière ou irrégulière. La surface totale de la pyramide est à nouveau obtenue en additionnant l'aire de la base et la surface totale de la pyramide donnée.