У шкільному курсі стереометрії вивчають властивості різних просторових постатей. Однією з них є піраміда. Ця стаття присвячена питанню про те, як знайти у піраміди площу бічної поверхні. Також розкривається питання визначення цієї площі для усіченої піраміди.

Що таке піраміда?

Багато хто, почувши слово "піраміда", відразу представляють грандіозні споруди Стародавнього Єгипту. Справді, гробниці Хеопса та Хефрена є правильними чотирикутними пірамідами. Проте пірамідою також є тетраедр, фігури з п'яти-, шести-, n-вугільною основою.

Вам буде цікаво:

У геометрії поняття піраміди визначено чітко. Під цією фігурою розуміють об'єкт у просторі, який утворюється в результаті з'єднання деякої точки з кутами плоского n-кутника, де n – ціле число. Нижче малюнок показує чотири піраміди з різною кількістюкутів у підставі.

Точка, з якою з'єднані всі вершини кутів основи, не лежить у його площині. Вона називається вершиною піраміди. Якщо з неї провести до основи перпендикуляр, то ми отримаємо висоту. Фігура, в якій висота перетинає основу в геометричному центрі, отримала назву прямої. Іноді пряма піраміда має правильну основу, наприклад, квадрат, рівносторонній трикутник і так далі. У цьому випадку вона називається правильною.

При обчисленні піраміди площі бічної поверхні зручно працювати з правильними фігурами.

Площа поверхні бічної фігури

Як знайти у піраміди площу бічної поверхні? Це можна зрозуміти, якщо ввести відповідне визначення і розглянути розгортку на площині для цієї фігури.

Будь-яка піраміда утворена гранями, які один від одного відокремлені ребрами. Основа - це грань, утворена n-кутником. Всі інші грані є трикутниками. Їх n штук, і всі вони разом утворюють бічну поверхню фігури.

Якщо вздовж бічного ребра розрізати поверхню і розгорнути її на площині, вийде розгортка піраміди. Наприклад нижче показана розгортка шестикутної піраміди.

Видно, що бічна поверхня утворена шістьма однаковими трикутниками.

Тепер не важко здогадатися, як у піраміди знайти площу бічної поверхні. Для цього слід скласти площі всіх трикутників. У разі n-вугільної правильної піраміди, сторона основи якої дорівнює a, для поверхні можна записати формулу:

Тут hb – це апофема піраміди. Тобто висота трикутника опущена з вершини фігури на бік основи. Якщо апофема невідома, її можна розрахувати, знаючи параметри n-кутника і значення висоти h фігури.

Усічена піраміда та її поверхня

Як можна здогадатися з назви, зрізану піраміду можна отримати зі звичайної фігури. Для цього потрібно відсікти площиною, паралельною до основи, вершину. Нижче малюнок демонструє цей процес для шестикутної фігури.

Її бічна поверхня є сумою площ однакових рівнобедрених трапецій. Формула для площі бічної поверхні усіченої піраміди (правильної) має вигляд:

Sb = hb * n * (a1 + a2) / 2

Тут hb – апофема фігури, яка є висотою трапеції. Величини a1 та a2 – це довжини підстав сторін.

Розрахунок бічної поверхні для трикутної піраміди

Покажемо, як знайти площу бічної поверхні піраміди. Допустимо, у нас правильна трикутна, розберемося на прикладі конкретного завдання. Відомо, що сторона основи, що є рівностороннім трикутником, дорівнює 10 см. Висота фігури дорівнює 15 см.

Розгорнення цієї піраміди показано малюнку. Щоб скористатися формулою Sb, необхідно спочатку знайти апофему hb. Розглядаючи прямокутний трикутник усередині піраміди, побудований на сторонах hb і h, рівність можна записати таке:

hb = √(h2+a2/12)

Підставляємо дані та отримуємо, що hb≈15,275 см.

Тепер можна скористатися формулою для Sb:

Sb = n * a * hb / 2 = 3 * 10 * 15,275 / 2 = 229,125 см2

Зауважимо, що основа трикутної піраміди, як і її бічна грань, утворена трикутником. Тим не менш, цей трикутник при обчисленні площі Sb не враховується.

Піраміда- один з різновидів багатогранника, утвореного з багатокутників і трикутників, які лежать в основі і є його гранями.

Причому на вершині піраміди (тобто в одній точці) усі грані поєднуються.

Для того, щоб обчислити площу піраміди, варто визначити, що її бічна поверхня складається з кількох трикутників. А їх площі ми зможемо легко знайти, застосовуючи

різні формули. Залежно від того, які дані трикутників нам відомі, ми шукаємо їх площу.

Перерахуємо деякі формули, за допомогою яких можна знайти площу трикутників:

1. S = (a * h) / 2 . У цьому випадку нам відома висота трикутника h , яка опущена на бік a .
2. S = a*b*sinβ . Тут сторони трикутника a , b , А кут між ними β .
3. S = (r * (a + b + c)) / 2 . Тут сторони трикутника a, b, c . Радіус кола, яке вписано в трикутник - r .
4. S = (a * b * c) / 4 * R . Радіус, описаного кола навколо трикутника. R .
5. S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R . Цю формулу слід застосовувати лише тоді, коли трикутник є прямокутним.
6. S = (a²*√3)/4 . Цю формулу застосовуємо до рівностороннього трикутника.

Лише після того, як розрахуємо площі всіх трикутників, які є гранями нашої піраміди, можна обчислити площу її бічної поверхні. Для цього будемо використовувати перелічені вище формули.

Для того щоб обчислити площу бічної поверхні піраміди, жодних складнощів не виникає: потрібно дізнатися суму площ усіх трикутників. Виразимо це формулою:

Sп = ΣSi

Тут Si є площею першого трикутника, а S п - Площа бічної поверхні піраміди.

Розглянемо з прикладу. Дана правильна піраміда, її бічні грані утворені декількома рівносторонніми трикутниками,

« Геометрія є наймогутнішим засобом для удосконалення наших розумових здібностей».

Галілео Галілей.

а квадрат є основою піраміди. Причому ребро піраміди має довжину 17 см. Знайдемо площу бічної поверхні цієї піраміди.

Розмірковуємо так: відомо, що гранями піраміди є трикутники, вони рівносторонні. Також нам відомо, яка довжина ребра даної піраміди. Звідси виходить, що це трикутники мають рівні бічні боку, їх довжина 17 див.

Для обчислення площі кожного з цих трикутників можна використовувати таку формулу:

S = (17 ² * √ 3) / 4 = (289 * 1.732) / 4 = 125.137 см ²

Так як ми знаємо, що квадрат лежить в основі піраміди, то виходить, що ми маємо чотири рівносторонні трикутники. А це означає, що площа бічної поверхні піраміди легко розрахувати за такою формулою: 125.137 см² * 4 = 500.548 см²

Наша відповідь наступна: 500.548 см² - така площа бічної поверхні цієї піраміди.

Площа бічної поверхні довільної піраміди дорівнює сумі площ її бічних граней. Спеціальну формулу для вираження цієї площі має сенс дати у разі правильної піраміди. Так, нехай дана правильна піраміда, в основі якої лежить правильний n-кутник зі стороною, що дорівнює а. Нехай h - висота бічної грані, називається також апофемоюпіраміди. Площа однієї бічної грані дорівнює 1/2ah, а вся бічна поверхня піраміди має площу, рівну n/2ha.

Площа бічної поверхніправильної піраміди дорівнює добутку її апофеми на половину периметра основи.

Що стосується площі повної поверхні, то просто до бічної додаємо площу основи.

Вписані та описані сфера та куля. Слід зазначити, що центр вписаної у піраміду сфери лежить на перетині бісекторних площин внутрішніх двогранних кутів піраміди. Центр описаної біля піраміди сфери лежить на перетині площин, що проходять через середини ребер піраміди та перпендикулярні їм.

Усічена піраміда.Якщо піраміду розсічено площиною, паралельною її основи, то частина, укладена між січною площиною та основою, називається усіченою пірамідою.На малюнку показана піраміда, відкидаючи її частину, що лежить вище за січну площину, отримуємо усічену піраміду. Зрозуміло, що мала піраміда, що відкидається, гомотетична великій піраміді з центром гомотетії у вершині. Коефіцієнт подібності дорівнює відношенню висот: k=h 2 /h 1 або бічних ребер, або інших відповідних лінійних розмірів обох пірамід. Ми знаємо, що площі подібних фігур відносяться як квадрати лінійних розмірів; так площі основ обох пірамід (тобто пощади основ усіченої піраміди) відносяться, як

Тут S 1 - площа нижньої основи, а S 2 - площа верхньої основи усіченої піраміди. У такому ж відношенні знаходяться бічні поверхні пірамід. Подібне правило є і обсягів.

Обсяги подібних тілставляться, як куби їх лінійних розмірів; наприклад, обсяги пірамід ставляться, як твори їх висот площі підстав, звідки наше правило виходить відразу. Воно має цілком загальний характері і прямо випливає з того, що обсяг завжди має розмірність третього ступеня довжини. Користуючись цим правилом, виведемо формулу, що виражає обсяг усіченої піраміди через висоту та площі основ.

Нехай дана усічена піраміда з висотою h і площами основ S1 і S2. Якщо уявити, що вона продовжена до повної піраміди, то коефіцієнт подібності повної піраміди та малої піраміди легко знайти, як корінь із відношення S2/S1. Висота зрізаної піраміди виражається як h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). Тепер маємо для обсягу зрізаної піраміди (через V 1 і V 2 позначені обсяги повної та малої пірамід)

формула об'єму усіченої піраміди

Виведемо формулу площі S бічної поверхні правильної усіченої піраміди через периметри Р 1 і Р 2 основ та довжину апофеми а. Розмірковуємо так само, як і при виведенні формули для обсягу. Доповнюємо піраміду верхньою частиною, маємо P 2 = kP 1 , S 2 =k 2 S 1 , де k - коефіцієнт подібності, P 1 і P 2 - периметри основ, а S 1 і S 2 - коні бічних поверхонь всієї отриманої піраміди та її верхній частині відповідно. Для бічної поверхні знайдемо (а 1 і а 2 – апофеми пірамід, а = а 1 – а 2 = а 1 (1-k))

формула площі бічної поверхні правильної усіченої піраміди

Введіть кількість сторін, довжину сторони та апофему:

Визначення піраміди

Піраміда- це багатогранник, основу якого лежить багатокутник, а грані його є трикутниками.

Онлайн-калькулятор

Варто зупинитися на визначенні деяких складових піраміди.

Вона, як і інші багатогранники, має ребра. Вони сходяться до однієї точки, яка називається вершиноюпіраміди. У її підставі може бути довільний багатокутник. Граньюназивається геометрична фігура, утворена однією зі сторін основи та двома найближчими ребрами. У нашому випадку це трикутник. Висотоюпіраміди називається відстань від площини, в якій лежить її основа, до вершини багатогранника. Для правильної піраміди існує поняття апофеми- Це перпендикуляр, опущений з вершини піраміди до її основи.

Види пірамід

Існують 3 види пірамід:

1. Прямокутна- та, у якої якесь ребро утворює прямий кут з основою.
2. Правильна- у неї основа – правильна геометрична фігура, а вершина самого багатокутника є проекцією центру основи.
3. Тетраедр- Піраміда, складена з трикутників. Причому кожен із них може бути прийнятий за основу.

Формула площі поверхні піраміди

Для знаходження повної площі поверхні піраміди потрібно скласти площу бічної поверхні та площу основи.

Найпростішим є випадок правильної піраміди, тому нею ми й займемося. Обчислимо повну площу поверхні такої піраміди. Площа бічної поверхні дорівнює:

S бік = 1 2 ⋅ l ⋅ p S_(text(сторона))=frac(1)(2)cdot lcdot pS бік​ = 2 1 ​ ⋅ l ⋅p

L l l- Апофема піраміди;
p p p- периметр основи піраміди.

Повна площа поверхні піраміди:

S = S бік + S осн S = S_ (text (сторона)) + S_ (text (осн))S =S бік​ + S осн​

S бік S_(text(сторона)) S бік​ - площа бічної поверхні піраміди;
S осн S_(text(осн)) S осн​ - площа основи піраміди.

Приклад розв'язання задачі.

приклад

Знайти повну площу трикутної піраміди, якщо її апофема дорівнює 8 (див.), а в основі лежить рівносторонній трикутник зі стороною 3 (див.)

Рішення

L = 8 l = 8 l =8
a = 3 a = 3 a =3

Знайдемо периметр основи. Оскільки в основі лежить рівносторонній трикутник зі стороною a a a, то його периметр p p p(Сума всіх його сторін):

P = a + a + a = 3 ⋅ a = 3 ⋅ 3 = 9 p = a + a + a = 3 cdot a = 3 cdot 3 = 9p =a +a +a =3 ⋅ a =3 ⋅ 3 = 9

Тоді бічна площа піраміди:

S бік = 1 2 ⋅ l ⋅ p = 1 2 ⋅ 8 ⋅ 9 = 36 S_(text(сторона))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot p=\frac(1)(2) \ cdot 8 \ cdot 9 = 36S бік​ = 2 1 ​ ⋅ l ⋅p =2 1 ​ ⋅ 8 ⋅ 9 = 3 6 (Див. кв.)

Тепер знайдемо площу основи піраміди, тобто площу трикутника. У нашому випадку трикутник рівносторонній та його площу можна обчислити за формулою:

S осн = 3 ⋅ a 2 4 S_(\text(осн))=\frac(\sqrt(3)\cdot a^2)(4)S осн​ = 4 3 ​ ⋅ a 2 ​

A a a- сторона трикутника.

Отримуємо:

S осн = 3 ⋅ a 2 4 = 3 ⋅ 3 2 4 ≈ 3.9 S_(text(осн))=\frac(\sqrt(3)\cdot a^2)(4)=\frac(\sqrt(3) )\cdot 3^2)(4)\approx3.9S осн​ = 4 3 ​ ⋅ a 2 ​ = 4 3 ​ ⋅ 3 2 ​ ≈ 3 . 9 (Див. кв.)

Повна площа:

S = S бік + S осн ≈ 36 + 3.9 = 39.9 S=S_(text(сторона))+S_(text(осн))\approx36+3.9=39.9S =S бік​ + S осн​ ≈ 3 6 + 3 . 9 = 3 9 . 9 (Див. кв.)

Відповідь: 39.9 см. кв.

Ще один приклад, трохи складніший.

приклад

Підставою піраміди є квадрат із площею 36 (див. кв.). Апофема багатогранника в 3 рази більша за сторону основи a a a. Знайти повну площу поверхні цієї фігури.

Рішення

S квад = 36 S_(text(квад))=36S квад​ = 3 6
l = 3 ⋅ a l=3\cdot a l =3 ⋅ a

Знайдемо бік основи, тобто бік квадрата. Його площа та довжина сторони пов'язані:

S квад = a 2 S_(text(квад))=a^2S квад​ = a 2
36 = a 2 36 = a^2 3 6 = a 2
a = 6 a = 6 a =6

Знайдемо периметр основи піраміди (тобто периметр квадрата):

P = a + a + a + a = 4 ⋅ a = 4 ⋅ 6 = 24 p=a+a+a+a=4\cdot a=4\cdot 6=24p =a +a +a +a =4 ⋅ a =4 ⋅ 6 = 2 4

Знайдемо довжину апофеми:

L = 3 ⋅ a = 3 ⋅ 6 = 18 l = 3 cdot a = 3 cdot 6 = 18l =3 ⋅ a =3 ⋅ 6 = 1 8

У нашому випадку:

S квад = S осн S_(text(квад))=S_(text(осн))S квад​ = S осн​

Залишилося знайти лише площу бічної поверхні. За формулою:

S бік = 1 2 ⋅ l ⋅ p = 1 2 ⋅ 18 ⋅ 24 = 216 S_(text(сторона))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot p=\frac(1)(2) \ cdot 18 \ cdot 24 = 216S бік​ = 2 1 ​ ⋅ l ⋅p =2 1 ​ ⋅ 1 8 ⋅ 2 4 = 2 1 6 (Див. кв.)

Повна площа:

$S=S^{\text{бік + Sосн = 2 1 6 + 3 6 = 2 5 2 (Див. кв.)}}$

Відповідь: 252 см. кв.

Яку постать ми називаємо пірамідою? По-перше, це багатогранник. По-друге, в основі цього багатогранника розташований довільний багатокутник, а сторони піраміди (бічні грані) обов'язково мають форму трикутників, що сходяться в одній спільній вершині. Ось тепер, розібравшись із терміном, з'ясуємо, як знайти площу поверхні піраміди.

Зрозуміло, що площа поверхні такого геометричного тіла складеться із суми площ основи та всієї її бічної поверхні.

Обчислення площі основи піраміди

Вибір розрахункової формули залежить від форми багатокутника, що лежить в основі нашої піраміди. Він може бути правильним, тобто зі сторонами однакової довжини або неправильним. Розглянемо обидва варіанти.

В основі – правильний багатокутник

Зі шкільного курсу відомо:

• площа квадрата дорівнюватиме довжині його сторони, зведеній у квадрат;
• площа рівностороннього трикутника дорівнює квадрату його сторони, поділеному на 4 і помноженому на квадратний корінь із трьох.

Але існує і загальна формула для розрахунку площі будь-якого правильного багатокутника (Sn): треба помножити значення периметра цього багатокутника (Р) на радіус вписаного в нього кола (r), а потім розділити отриманий результат на два: Sn=1/2P*r .

В основі – неправильний багатокутник

Схема знаходження його площі полягає в тому, щоб спочатку розбити весь багатокутник на трикутники, обчислити площу кожного з них за формулою: 1/2a * h (де а - основа трикутника, h - опущена на цю основу висота), скласти всі результати.

Площа бічної поверхні піраміди

Тепер розрахуємо площу бічної поверхні піраміди, тобто. суму площ усіх її бокових сторін. Тут також можливі 2 варіанти.

1. Нехай ми маємо довільну піраміду, тобто. така, на основі якої – неправильний багатокутник. Тоді слід обчислити окремо площу кожної грані та скласти результати. Так як бічними сторонами піраміди за визначенням можуть бути тільки трикутники, то розрахунок йде за згаданою вище формулою: S = 1/2a * h.
2. Нехай наша піраміда – правильна, тобто. у її основі лежить правильний багатокутник, і проекція вершини піраміди виявляється у його центрі. Тоді для обчислення площі бічної поверхні (Sб) достатньо знайти половину добутку периметра багатокутника-основи (Р) на висоту (h) бічної сторони (однакову для всіх граней): Sб = 1/2 Р * h. Периметр багатокутника визначається додаванням довжин всіх його сторін.

Повна площа поверхні правильної піраміди знайдеться підсумовуванням площі її основи з площею всієї бічної поверхні.

Приклади

Для прикладу обчислимо алгебраїчну площу поверхні декількох пірамід.

Площа поверхні трикутної піраміди

В основі такої піраміди – трикутник. За формулою Sо=1/2a*h знаходимо площу основи. Цю формулу застосовуємо для знаходження площі кожної грані піраміди, також має трикутну форму, і отримуємо 3 площі: S1, S2 і S3. Площа бічної поверхні піраміди є сумою всіх площ: Sб = S1 + S2 + S3. Склавши площі бічних сторін і основи, отримаємо повну площу поверхні шуканої піраміди: Sп = Sо + Sб.

Площа поверхні чотирикутної піраміди

Площа бічної поверхні - це сума 4-х доданків: Sб = S1 + S2 + S3 + S4, кожне з яких обчислено за формулою площі трикутника. А площу основи доведеться шукати, залежно від форми чотирикутника – правильного чи неправильного. Площа повної поверхні піраміди знову вийде шляхом складання площі основи та повної площі поверхні заданої піраміди.